歐拉公式 | 寵物協尋網
![歐拉公式](https://i.imgur.com/voy7JL0.jpg)
複變函數.e^ix=cosx+isinx,e是自然對數的底,i是虛數單位。它將三角函式的定義域 ...
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(Euler公式)
在數學歷史上有很多公式都是歐拉(Leonhard Euler 公元1707-1783年)發現的,它們都叫做歐拉公式,分散在各個數學分支之中。
公式介紹 複變函數eix=cosx+isinx,e是自然對數的底,i是虛數單位。它將三角函式的定義域擴大到複數,建立了三角函式和指數函式的關係,它在複變函數論里占有非常重要的地位。
歐拉公式eix=cosx+isinx的證明:
因為ex=1+x/1!+x2/2!+x3/3!+x4/4!+……
cos x=1-x2/2!+x4/4!-x6/6!……
sin x=x-x3/3!+x5/5!-x7/7!……
在ex的展開式中把x換成±ix.
(±i)2=-1, (±i)3=∓i, (±i)4=1 ……
e±ix=1±ix/1!-x2/2!∓ix3/3!+x4/4!……
=(1-x2/2!+……)±i(x-x3/3!……)
所以e±ix=cosx±isinx
將公式里的x換成-x,得到:
e-ix=cosx-isinx,然後採用兩式相加減的方法得到:
sinx=(eix-e-ix)/(2i),cosx=(eix+e-ix)/2.這兩個也叫做歐拉公式。將eix=cosx+isinx中的x取作π就得到:
恆等式eiπ+1=0.這個恆等式也叫做歐拉公式,它是數學裡最令人著迷的一個公式,它將數學裡最重要的幾個數字聯繫到了一起:兩個超越數:自然對數的底e,圓周率π,兩個單位:虛數單位i和自然數的單位1,以及被稱為人類偉大發現之一的0。數學家們評價它是“上帝創造的公式”
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